Les défis précédents

La suite est formée d'un 1 puis de trois 3, puis de cinq 5, ...

On peut inscrire ces nombres dans les case d'un carré, de telle sorte que le carré soit formé de "couches" portant les différents entiers impairs  (la i-ème couche, constituée de la différence entre le carré de côté  i x i  et celui de côté   (i - 1) x (i - 1) , portant l'entier impair 2i - 1).

En effet, avec cette construction, la i-ème couche est bien formée de 2i - 1 cases.

Le centième nombre de cette suite est le dernier à appartenir à la dixième couche du carré (car il appartient au carré 10 x 10 mais pas 9 x 9) donc il vaut 2 x 10 - 1 = 19

Lors de la première séance, Emma et Léa ont lu 10 pages chacune. En rattrapant son retard, Anna a lu 20 pages. Ensuite, les lectrices se sont partagé les 211 pages restantes du roman. Puisque 211 = 3 X 70 + 1, Emma et Léa ont donc lu 70 pages chacune lors de ces séances ultérieures, alors qu'Anna, qui a lu à la fois la première page de la deuxième séance et la dernière du roman, en a lu 71. En tout, Anna a donc lu 91 pages

On peut résoudre ce problème à l'aide du logiciel Geogebra.

A partir de la 4e, on utilise le théorème de Pythagore et les triangles semblables:

On trouve que le triangle rectangle de côtés 3 et 1 a pour longueur de l'hypoténuse  et que la hauteur relative à l'hypoténuse mesure 

Et dans le triangle rectangle d'hypoténuse 3 et de côté   on trouve que le deuxième côté adjacent à l'angle droit mesure 

L'aire colorée étant formée de 4 copies superposable de ce dernier triangle, on calcule 4 fois l'aire de ce triangle soit 

L'aire du carré de côté 3 ayant pour aire 9, on en déduit le pourcentage:

Notons n le nombre de cours mensuel. 

Avec l'offre sans abonnement, je dépenserais 15n

Avec l'offre premium, je dépenserais 42 + 7,50n

On cherche 42 + 7,5n  15n   42   15n - 7,5n

                                                             42 ÷ 7,5  7,5n ÷ 7,5

                                       5,6  n 

Ainsi, il est rentable de souscrire à l'offre premium à partir de 6 cours mensuels

si  divise  alors divise  

on vérifie pour chaque valeur de n (1; 2; 3; ...) et on s'arrête à 5 car à partir de 6  >  

Puisque quatre cubes pèsent ensemble 200 g, chaque cube pèse 50 g (200g ÷ 4 cubes). Le deuxième empilement contient donc 700g ÷ 50g/cube = 14 cubes. On voit sur le dessin 11 de ces cubes, donc trois cubes sont cachés.

Grâce au 11, on voit que la seule case manquante dans la rangée du bas contient le nombre 11 - 4 = 7

On obtient alors, en plus du 11, 13 et 9 dans la deuxième rangée, puis 24 et 22 dans la troisième et enfin, 46 au sommet du tableau

Si l'on note a le chiffre des dizaines et b le chiffre des unités du nombre cherché, la condition à remplir est que 10b + a soit 75% plus grand que 10a + b c'est-à-dire que 10b + a = 7/4 (10a + b) 40b + 4a = 70a + 7b33b = 66a b=2a

Autrement dit, les nombres cherchés sont ceux dont le chiffre des unités est le double du chiffre des dizaines, à savoir 12, 24, 36 et 48

10h32 - 20 min = 10h12

La montre du passant indique 10h12

Elle avance de 5 min, 10h12 - 5 min = 10h07

Il est en réalité 10h07

10h07 - 10 min = 9h57

Il y a 10 min, il était donc 9h57